怎么建立数学模型

1. 怎么建立数学模型

—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.

下面给出建模的—般步骤：
模型准备  首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.
模型假设  根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
模型构成  根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.
模型求解  可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．
模型分析  对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．
模型检验  把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．
模型应用  应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的内容不是本书讨论的范围。
应当指出，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明．建模时不应拘泥于形式上的按部就班，本书的建模实例就采取了灵活的表述方式．

2. 怎么建立数学模型

建立数学模型的方法：
   
 1、建摸前需准备充分，教师要创造一个学生比较熟悉的或亲身经历的含有数学问题的现实情景，让学生了解问题的实际背景，搜集处理各种信息，提出数学问题，为建立数学模型作准备。
  
 2、以观察、比较、分析、抽象、概括建立模型，根据建摸对象的特征和建摸的目的，对实际数学问题或现实情景，进行观察、比较、分析、抽象、概括，进行必要的、合理的假设，运用形式化的数学语言表达出数学概念或用数学符号刻划出一种数学结构。
  
 3、应用模型，建立数学模型的目的是更好的描述自然现象和社会现象，从而帮助人们更好地认识自然、社会，改造自然、社会。通过建立数学模型可以教给学生一些数学思想方法，为将来进一步学习和将来的社会实践打下坚实的基础。

3. 建立数学模型的方法和步骤?

第一、 模型准备 首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 第二、 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 第三、 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 第五、模型分析 对模型解答进行数学上的分析。"横看成岭侧成峰，远近高低各不"。能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

4. 建立数学模型的一般步骤

建立数学模型的一般步骤图形表示如下：原型分析→确定模型类别→建立模型→检验
第一，掌握和分析客观原型的各种关系，数量形式。数学模型是从现实原型中抽象出来的，如果我们不能准确全面地掌握客观原型的数量关系，内部变化规律等，就会无法构造出正确的数学模型。因此我们要求作为构造数学模型的第一步，要尽量地分析和掌握原型的各种数据和各种关系。

第二，确定所研究原型的本质属性，从而抓住问题的本质。从构建数学模型的意义上来分析，要清楚准备建立的数学模型的类型，只有这样才能为建构数学模型做好准备工作。这其中最重要的是认清变量关系以及事物各元素之间的关系。
第三，建立数学模型。这一阶段要求建立起在数学概念，语言表述，符号等基础上的数学模型。此时，客观原型已经被数学的抽象形式明确地表现出来，数学模型的确定性，随机性，模糊性已经十分清楚，进而应当运用的数学工具及计算用的表达式都应当清楚。

第四，对数学模型进行运演和检验。这一阶段要求把数学模型进行逻辑推理，理论计算的结果返回到实践中去检验，如果其结果不符合客观实践就要被修正，甚至重新构造数学模型。

5. 数学模型的建立

在建立氮在土壤中运移转化的数学模型时，考虑到在众多不同形态氮中，只有  和  才能为作物直接吸收；同时，氮的淋溶损失主要以  的形式进行，故选择  和  作为研究对象。由于氮在土壤中运移转化受土壤水分含量和运移的影响，因此，需建立水分运动和  、  运移转化的联合数学模型。施肥灌溉（降雨）条件下，0～4m土层中水分运动和  、  运移转化的联合数学模型如下：
一、土壤水分运动模型
模型中考虑根系吸水，上边界条件为二类边界，土壤水分运动的数学模型如下：

区域地下水演化过程及其与相邻层圈的相互作用

θ=θi（z） t=0，z ＞ 0

区域地下水演化过程及其与相邻层圈的相互作用

θ=θa t ＞ 0，z=4
式中：θ为土壤水体积含水率（cm3/cm3）；t为时间变量（d）；z为垂向空间坐标（cm，向下为正）；Dw（θ）为非饱和土壤水分扩散度（cm2/d）；K（θ）为非饱和土壤导水率（cm/d）；Sw（t，z）为根系吸水强度［单位时间内作物根系从单位体积土体中的吸水体积（1/d）］；θi（z）为初始土壤剖面含水率分布函数；R（t）为二类边界上灌溉或降雨强度（cm/d）；Es（t）为二类边界上蒸发强度（cm/d）。
二、  运移转化模型
模型中考虑吸附、矿化、氨化、硝化和根吸。  的硝化过程为  →  →  ，但是一般土壤中  含量很低且难于积累，  很快变为  ，故将硝化过程简化为  →  ，并且硝化作用不仅发生在液相中，而且发生在吸附相中；土壤对  的吸附符合线性等温方程：S=kDC；有机氮的矿化用零级动力学方程描述，氨化、硝化作用和根吸用一级动力学方程描述（张瑜芳等，1997）。

区域地下水演化过程及其与相邻层圈的相互作用

φ1=ρk1（z）CN（z）（θ）-kv（z）θC1-k2〔θC1+ρkD（z）C1〕-k4SwC1
C1=C1i（z） t=0，z ＞ 0

区域地下水演化过程及其与相邻层圈的相互作用

C1=C1a t ＞ 0，z=4
式中：C1为土壤溶液中  的浓度（mg/L）；ρ为土壤干容重（g/cm3）；Dsh（θ，q）为水动力弥散系数（cm2/d）；q为达西流速（cm/d）；S为土壤颗粒对  的吸附量（μg/g）；kD为土壤对  的吸附系数（无量纲）；C1i（z）为初始土壤剖面  浓度（mg/L）；C1R（t）为土壤入渗水中的  浓度（mg/L）；φ1为源汇项（μg/cm3·d）；k1为有机氮矿化速率常数（1/d）；CN（z）为土壤有机氮矿化潜势（μg/g）；kv（z）为  氨化速率常数（1/d）；k2为  硝化速率常数（1/d）；k3为  作物根系吸收系数（无量纲）；C1a为下边界土壤淋滤液中的  浓度（mg/L）。
三、  运移转化模型
考虑硝化、反硝化和根系吸收，其中反硝化作用也采用一级动力学方程描述：

区域地下水演化过程及其与相邻层圈的相互作用

φ2=k2〔θC1+ρkD（z）C1〕-k3θC2-k4Sw（t，z）C2
C2=C2i（z） t=0，z ＞ 0

区域地下水演化过程及其与相邻层圈的相互作用

C2=C2a t ＞ 0，z=4
式中：C2为土壤溶液  浓度（mg/L）；C2R（t）为土壤入渗水中的  浓度（mg/L）；φ2为源汇项（μg/cm3·d）；k3为  反硝化速率常数（1/d）；C（z）为土壤入渗水中2i的  浓度（mg/L）；C2a为下边界土壤淋滤液中的  浓度（mg/L）；其余符号意义同前。

6. 数学模型的建立

如图

7. 数学建模怎么建立模型？

1、模型准备
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

2、模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

3、模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。

4、模型求解
可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

5、模型分析
对模型解答进行数学上的分析。能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论哪种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。




6、模型检验
把数学上分析的结果翻译回到现实问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。
7、模型应用
取决于问题的性质和建模的目的。

8. 建立简单的数学模型。

设t时刻B桶盐水浓度为y(t)，而水量为f(t)=10+0.2t。下面考虑y(t+△t)
首先t时刻B中含盐量为y(t)f(t)，下满计算过了△t时刻后B中盐含量的增量
注意A桶和B桶中盐的总量不变=50+50=100，所以t时刻A中含盐量为100-y(t)f(t)
那么此时A中盐浓度为[100-y(t)f(t)]/10，所以经过△t时间后
A桶向B桶注入的盐量近似为0.2△t[100-y(t)f(t)]/10
所以t+△t时刻B桶含盐量近似为y(t)f(t)+0.2△t[100-y(t)f(t)]/10
所以△t->0时应有y(t+△t)={y(t)f(t)+0.2△t[100-y(t)f(t)]/10}/f(t+△t)
化简便得到f(t)y'(t)+(0.02f(t)+0.2)y(t)=5
解此微分方程便可得y(t)=250[5-4e^(-t/50)]/(t+50)