混沌理论的定义

1. 混沌理论的定义

混沌理论的简介

2. 何为混沌理论

混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。量子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则紧接着否定了包括宏观世界拉普拉斯（Laplace）式的决定型因果律。 

美国气象学家洛伦茨在2O世纪6O年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。其对初始条件的极端敏感依赖性表现为蝴蝶效应：今天北京一只蝴蝶展翅翩翩对空气造成扰动，可能导致下个月纽约的大风暴。 

混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间——即原因与结果之间——关系的一个基本性的错误认识。我们过去认 为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们 可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但现在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。 

这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克 (Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。实质上，这一思想就是使蝴蝶效应为你所用。初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是仅用卫星上遗留的 极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道，而与一颗小行星相碰撞。美国 国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转5圈，每一圈 用射出的少许肼将卫星轻推一下，最后实现碰撞。

3. 混沌理论的运用

混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。理论上研究混沌的目的是多方面的：揭示混沌的本质（内在随机性）、刻画它的基本特征、了解它的动力性态，并力求对它加以控制，使之为人类所用。在过去20年中，混沌在工程系统中逐渐由被认为仅仅是一种有害的现象转变到被认为是具有实际应用价值的现象来加以探讨。近年来的大量研究工作表明，混沌与工程技术联系愈来愈密切，它在生物医药工程、动力学工程、化学反应工程、电子信息工程、计算机工程、应用数学和实验物理等领域中都有着广泛的应用前景。在应用方面，主要包括混沌信号同步化和保密通信，混沌预测，混沌神经网络的信息处理、混沌与分形图像处理，基于混沌的优化方法、混沌生物工程、天气系统、生态系统、混沌经济等。此外，　控制混沌的技术还被应用到神经网络、激光、化学反应过程、流体力学、非线性机械故障诊断系统、非线性电路、天体力学、医疗以及分布参数的物理系统的研究工作中去。当前，在一些混沌显得非常重要而且有用的领域，有目的地产生或强化混沌现象已经成为一个关键性的研究课题。混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面已经有些许应用的例子。由于教育的对象是人，人是随时变动起伏的个体，而教育的过程基本上依循一定的准则，并历经长期的互动，因此，相当符合混沌理论的架构。也因此，依据混沌理论，教育系统容易产生无法预期的结果。此一结果可能是正面的，也有可能是负面的。不论是正面或是负面的，重要的是，教育的成效或教育的研究除了短期的观察之外，更应该累积长期数据，从中分析出可能的脉络出来，以增加教育效果的可预测性，并运用其扩大教育效果。混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。过去决策基础的三个主要假定和三个新的现实。根据混沌理论，格拉斯提出，过去作为决策基础的三个主要假定已经不再成立。这些假定是：最早建立混沌反控制理论，国际权威L.O. Chua评价“陈关荣是国际上混沌控制的早期开拓者之一和混沌反控制理论的创始人”；发现Lorenz系统的对偶系统和它们之间的临界系统，国际权威J.C. Sprott等称为“Chen系统”、“Lu系统”；提出单参数统一系统，国际权威D.J. Hill称为“基准系统”；提出广义Lorenz系统族并建立其理论框架。研究成果在工程技术等领域具有良好的应用前景。 管理者对事件的因果关系有着足够的认识。他们能够顺藤摸瓜，找出每一事件将会导致的变化。在格拉斯看来，这些旧的假定已经被三个新的现实所代替： 作为传统决策理论基础的简单线性因果关系模型已经失灵。因此，各种事件的后果是无法预料的。美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。美国气象学家洛伦茨在20世纪60年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。这就引起了数学物理界的广泛关注。与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇 异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。20世纪70年代后期 科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象。作为一门学科的混沌学目前正处在研讨之中，未形成一个完整的成熟理论。但有的科学家对混沌理论评价很高，认为“混沌学是物理学发生的第二次革命”。但有的人认为这似乎有些夸张。对于它的应用前景有待进一步揭示。但混沌理论研究同协同学、耗散结构理论紧密相关。它们在从无序向有序和由有序向无序转化这一研究主题有共同任务，因而混沌理论也是自组织系统理论的一个组成部分。近几年来，科学家们在研究混沌控制方面已取得重要进展，实现了第一类混沌，即时间序列混沌的控制实验。英、日科学家还在试验用混沌信号隐藏机密信息的信号传输方法。混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。量子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则紧接着否定了包括宏观世界拉普拉斯（Laplace）式的决定型因果律。应用

4. 混沌理论

　　混沌理论
　　“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。”
　　一点就是未来无法确定。如果你某一天确定了，那是你撞上了。
　　第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。看见云彩，知道他是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。这是混沌理论两个基本的概念。
　　混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则，一个是事物的发展总是向他阻力最小的方向运动。第二个原则当事物改变方向的时候，他存在一些结构。


　　一 混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

　　二 混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。

　　三 近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现，简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的「蝴蝶效应」，亦即某地下大雪，经追根究底却发现是受到几个月前远在异地的蝴蝶拍打翅膀产生气流所造成的。一九六○年代，美国数学家Stephen Smale 发现，某些物体的行径经过某种规则性的变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可寻，呈现失序的混沌状态。

　　四 混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓「差之毫厘，失之千里」正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。

　　五 混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面已经有些许应用的例子。由于教育的对象是人，人是随时变动起伏的个体，而教育的过程基本上依循一定的准则，并历经长期的互动，因此，相当符合混沌理论的架构。也因此，依据混沌理论，教育系统容易产生无法预期的结果。此一结果可能是正面的，也有可能是负面的。不论是正面或是负面的，重要的是，教育的成效或教育的研究除了短期的观察之外，更应该累积长期数据，从中分析出可能的脉络出来，以增加教育效果的可预测性，并运用其扩大教育效果。

5. 混沌理论简介

混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。 美国2007年上映的一部喜剧电影，也叫《混沌理论》。

“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯  混沌理论
关于决定论式可预测的幻想。”   
首先一点就是未来无法确定。如果你某一天确定了，那是你撞上了。   
第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。看见云彩，知道他是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。这是混沌理论两个基本的概念。   
混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则，1、能量永远会遵循阻力最小的途径   2、始终存在着通常不可见的根本结构，这个结构决定阻力最小的途径。   3、这种始终存在而通常不可见的根本结构，不仅可以被发现，而且可以被改变

6. 混沌理论

1963年美国气象学家爱德华·诺顿·劳仑次]]提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生[[随机]]结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。   混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方世界流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说：   丢失一个钉子，   坏了一只蹄铁；   坏了一只蹄铁，   折了一匹战马；   折了一匹战马，   伤了一位骑士；   伤了一位骑士，   输了一场战斗；   输了一场战争，   亡了一个帝国。   马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。   布莱德福所发明之定律为书目计量学三大定律，布莱德福以应用地球物理学为例：   每区的期刊数之比9：59：258   视为10：50：250   等於1：5：25   所以，推论出其公式为「y=x1+x2+x3...+xn+E」。E 即 error 混沌不明的变因，如同杂讯是无法解释的。
“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯  混沌理论
关于决定论式可预测的幻想。”   首先一点就是未来无法确定。如果你某一天确定了，那是你撞上了。   第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。看见云彩，知道他是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。这是混沌理论两个基本的概念。   混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则，1、能量永远会遵循阻力最小的途径   2、始终存在着通常不可见的根本结构，这个结构决定阻力最小的途径。   3、这种始终存在而通常不可见的根本结构，不仅可以被发现，而且可以被改变。
混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间——即原因与结果之间——关系的一个基本性的错误认识。我们过去认 为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们 可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但现在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。   这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克 (Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。实质上，这一思想就是使蝴蝶效应为你所用。初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是仅用卫星上遗留的 极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道，而与一颗小行星相碰撞。美国 国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转5圈，每一圈 用射出的少许肼将卫星轻推一下，最后实现碰撞。   混沌理论的特征在证券市场中也存在。周K线图看上去与日K线图、小时K线图、5分钟K线图的形状十分相似，这就是证券市场价格的分形特征，我们可以应用5分钟K线图或者小时K线图来推断日K线图或周K线图的形状，为投资决策服务。

7. 混沌的混沌研究的意义

混沌研究的实际意义是多方面的。①混沌运动的发现，使人们看到普遍存在于自然界而长期视而不见的一种运动形式，从而理解过去难以理解的许多现象。如1977年后曾发现，放在微波谐振腔中的超导隧道结随着增益的提高出现反常噪声，在4K低温下进行的实验中噪声的等效温度高达5×104K以上，这是用当时已知的任何机制都无法解释的。后来明白这是系统进入了混沌区，噪声来自动力学本身。高能粒子加速器中的束流损失、磁约束核聚变装置中等离子体的泄漏、核电站循环水系统可能发生的有害回流等，都与混沌现象有联系。②混沌运动的发现提供了一种考虑问题的新角度。如长期天气预报问题、洛伦茨吸引子的发现、大气动力学方程组解对初值的敏感性，动摇了原来以为只要提高计算精度即可解决长期天气预报的想法。而混沌吸引子的遍历性质，恰好可保证许多长时间平均量的稳定性和对初始条件的无关性。因为长期天气预报所关心的是相当长时期以后雨量、温度的平均值，混沌反而增加了长期天气预报的可靠性。另外，地磁场近百万年来的多次随机转向、影响全球天气变化的厄尔尼诺现象，都可从确定性系统的混沌运动角度加以研究。③混沌运动的研究对用物理学、数学等精确科学方法研究复杂的生命现象有重要启发作用。如各种生物节律，既非完全周期，又非纯粹随机。它既有受自然界周期过程如季节、昼夜等影响的一面，又保持着其自身内秉特性。采用耦合非线性振子等数学模型模拟配合生理实验，可揭示各种心律不齐、房室传导阻碍、心室纤维颤动与混沌运动的可能联系。考察人类的脑电波，发现癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常人的脑电波更接近随机信号。采用维数测量发现这些信号并不真正随机，而是来至维数不很高的吸引子上的动力学行为。④混沌研究改变了人类的自然观。对于统一的自然界，历来有确定论和概率论两套对立的描述体系。牛顿力学建立以来的科学传统推崇确定论体系，而把概率论描述当作不得已而为之的补充。混沌运动对确定性系统本身就存在着内秉随机性的揭示，无疑会使人们从这种人为对立的描述系统中解脱出来，深化对必然和偶然的认识，更全面地认识自然界的统一性。 混沌现象的发现和混沌理论的建立，同相对论和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重大突破。许多科学家认为，20世纪物理学三件辉煌的科学奇迹是相对论、量子论和混沌理论的创立。

8. 混沌理论简述

混沌，已成为具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字.混沌，它揭示有序与无序的关系，确定性和随机性的统一，覆盖面广到包括自然科学与社会科学的几乎各个领域.
自然界现象遵循的原则可以看成是一部机器（见图6-1（a））.当我们向机器输入初始条件时，机器会产生一个输出，它告诉我们未来将是怎样的.如果说初始条件Ⅰ发生了很小的变化δ，当这部机器是个线性系统时，输出A只会发生很小的变化δA.我们熟知的牛顿力学方程组就是构成这部机器的核心，这样的动力学方程组确定了过去、现在和将来的关系.因果一一对应是这种机器的特征，这种动力学模型叫做确定性模型.我们在地球科学中遇到的绝大多数模型都属于这种确定性模型.这在科学上是一种传统的经典的模型.但是，自然界还存在着另一种模型：当输入初始条件发生很小变化δi（i=1，2，…，∞）时，机器的输出却发生显著的变化，输出的结果分别为Ai（i=1，2，…，∞）.在许多情况下，初始条件δi变化是如此之小，以至难于被测量所察觉.然而，一种奇怪现象发生了〔见图6-1（b）〕：一部确定性机器，可以输出许多不同的结果Ai.从有限的观测精度来看，这部机器的输入都是Ⅰ，但输出却是不同的A1，A2，…，A∞，每个Ai的出现是以概率pi这种统计形式显示出其规律性的.这种对初始条件极端敏感的动力学行为，叫做混沌（Chaos）.不难证明，产生混沌行为的机器的动力学方程组必须是非线性的.因此，混沌动力学是现代非线性理论研究的核心问题之一.在目前已知的绝大多数情况下，输出状态Ai的集合，是一种统计分形集合.

图6-1（a）传统的动力学——确定论；（b）非线性动力学——混沌

混沌概念在稳定的确定性的解和不稳定的确定性的解之间起着桥梁作用.混沌解必须从统计学上进行处理.混沌解在时间演化上以指数方式敏感于初值条件.一个确定解，当其在时间演化时，如果初值相差很少的两个解以指数方式发散，则定义为混沌解.在演化中解的可预测性仅有统计学意义.一个解是混沌的必要条件是支配方程是非线性方程.
混沌体系是一种行为不规则而且对初始条件高度敏感的体系.这种体系的行为又是决定论的，即可用数学方法（常常是很简单的方程）来描述.
混沌现象是非常有意思的，它使决定性系统看起来是非决定性的、杂乱无章的.其实不然，混沌的理论找到了从决定性到非决定性的解释.发现混沌的根源是系统的非线性，而不是外在的因素所致，这无疑是个非常重要的突破.
混沌理论的广泛适用范围和独特的数学手段，使它能够更加全面、准确地揭示和描述客观世界的属性及其复杂的规律性，无论对自然科学研究还是社会科学研究，均有重要的方法论意义.
混沌理论在一定程度上实现了系统行为确定性描述与随机性描述的沟通和统一.在方法论上，它把自然科学中长期存在着的系统行为的确定性和随机性二种不相容的描述体系，即确定性描述和随机性描述沟通起来.混沌理论揭示出，系统行为的随机性在一个确定论的发展过程中作为内在的必然行为而产生出来，这就使我们把系统行为的原因理解为确定性和随机性二种因素.这一事实说明，在描述系统混沌行为时，在一定程度上沟通和统一了确定性和概率论这二种不相容描述体系演化的方法，这是方法论体系的丰富和扩展.
混沌理论表明，混沌现象是系统演化传统概念的有序与无序的中介态.这种形态依赖于形态演化的内在规律性及系统与环境的相互作用，它不是固定不变的，而是系统运动过程中的一种暂态.这就给了我们这样的启示：由于系统行为中有序与无序的相对性以及系统演化为混沌的阶段性，我们要在普遍存在混沌的世界里掌握系统演化的这种机制，加以合理控制，从而有可能利用或避免混沌现象.
混沌理论已向我们展开了广阔的理论和应用前景.在理论上，它深化了人类对客观世界的观察与分析，大大丰富了我们对客观事物的认识，它丰富和发展了系统理论，这或许要影响乃至改变我们对若干问题的看法.在应用上，有可能在一定程度上实现对混沌现象的预测、控制和利用.
混沌有以下几个特性：
（1）随机性.体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称之为内随机性.例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、初始值都是确定的，而系统在混沌区的行为仍表现为随机性.这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用.体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在.
（2）敏感性.系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的，时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性.这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性.气象学家洛仑兹（E.N.Lorenz）提出的所谓“蝴蝶效应”，就是对这种敏感性的突出而形象的说明.
（3）分维性.混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述.例如，Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的洛仑兹模型的分维数是2.06.体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构.
（4）普适性.当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义.其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化.这类系统都与费根鲍姆常数相联系.这是一个重要的普适常数δ=4.66920160910299097….
（5）标度律.混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域.只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质.例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套自相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性.
混沌定义：令f（x）为区间I到自身的连续映射，如果满足下列条件：
（1）f的周期点的周期无上界.
（2）存在I的不可数子集S，满足
a.对于任何x，y∈S，当x≠y时有
b.对于任何x，y∈S，有
则称f（x）描述的系统为混沌系统，S为f的混沌集.
在日常生活里，洛伦兹所指出的对初始条件的敏感性比比皆是.如一个男人早上晚离家了30分钟，一个花瓶只有毫米之差险些打破他的头，随后他被一辆卡车撞倒.或者说，他没赶上每10分钟一趟的公共汽车，因而耽误了每一小时一趟的火车.一个人日常轨道中的小小扰动可能留下巨大的后果.
对初始条件的敏感性并非一个新概念，民谣中早已有之：缺掉一枚钉，坏了一支蹄铁；缺了一支蹄铁，跌翻了一匹马；翻了一匹马，死了一个骑马的武士；死了这位骑马武士，失去这场战争的胜利；失去了这个胜利，亡掉了这一个帝国！